Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения для "чайников"

Дифференциальные уравнения - раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обыкновенные дифференциальные) или нескольких аргументов (дифференциальные уравнения в частных производных). Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.

Теория дифференциальных уравнений - раздел математики, занимающийся изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Их результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко - в физике.

Проще говоря, дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция.При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных. Более сложными являются интегро-дифференциальные уравнения.

Сначала дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции от времени.

Дифференциальное уравнение называется интегрируемых в квадратурах , если задачу нахождения всех развязок связей можно свести к вычислению конечного числа интегралов от известных функций и простых алгебраических операций.

История

Леонард Эйлер

Жозеф-Луи Лагранж

Пьер-Симон Лаплас

Жозеф Лиувилль

Анри Пуанкаре

Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (1642-1727). Ньютон считал это свое изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно свободно передать так: «законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».

Основным аналитическим достижением Ньютона было разложение всевозможных функций в степенные ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона в том, что для решения любого уравнения нужно подставить в уравнение ряд и приравнять члены одинакового степени). Особое значение имела здесь открытая им формула бинома Ньютона (разумеется, не только с целыми показателями, для которых формулу знал, например, Виет (1540-1603), но и, что особенно важно, с дробными и отрицательными показателями). Ньютон разложил в «ряды Тейлора» все основные элементарные функции Это, вместе с составленной им таблице первобытных (которая перешла в почти неизменном виде в современные учебники анализа), позволяло ему, по его словам, сравнивать площади любых фигур «за половину четверти часа».

Ньютон указывал, что коэффициенты его рядов пропорциональны последовательным производным функции, но не останавливался на этом подробно, поскольку он справедливо считал, что все вычисления в анализе удобнее проводить не с помощью кратных дифференцировок, а путем вычисления первых членов ряда. Для Ньютона связь между коэффициентами ряда и производными был скорее средством вычисления производных, чем средством составления ряда. Одним из важнейших достижений Ньютона является его теория солнечной системы, изложенная в «Математических принципах натуральной философии» («Principia») без помощи математического анализа. Обычно считают, что Ньютон открыл с помощью своего анализа закон всемирного тяготения. На самом деле Ньютону (1680) принадлежит лишь доказательство эллиптичности орбит в поле притяжения по закону обратных квадратов: сам этот закон был указан Ньютону Гуком (1635-1703) и, пожалуй, угадывался еще несколькими учеными.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707-1783) и Лагранжа(1736-1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно - теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, поскольку именно из такого уравнения определяются секулярные (возрастные, т.е. медленные по сравнению с годовым движением) возмущения планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777-1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809-1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратурах. Позже Софус Ли (1842-1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришел к необходимости детально исследовать группы дифеоморфизмив (получившие впоследствии имя групп Ли) - так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли еще раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781-1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854-1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных привела к основанию современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь ее чаще называют, теория динамических систем, сейчас развивается наиболее активно и имеет наиболее важные применения теории дифференциальных уравнений в естествознании.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения - это уравнения вида F (t , x , x ", x "",..., x (n )) = 0 , где x = x (t ) - неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени t , штрих означает дифференцирование по t . Число n называется порядком дифференциального уравнения.

Решением (или решением) дифференциального уравнения называется функция, дифференцируется n раз, и удовлетворяет уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одной из развязок нужно наложить на нее дополнительные условия: например, требовать, чтобы решения принимал в определенной точке определенное значение.

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы розьязання простых ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных - это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частных производных.

Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

где - независимые переменные, а - функция этих переменных.

Нелинейные дифференциальные уравнения

Нелинейные дифференциальные уравнения - раздел математики, изучающий теорию и способы решения нелинейных уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обычные нелинейные дифференциальные) или нескольких аргументов (нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных). Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.

Теория нелинейных дифференциальных уравнений - раздел математики, занимающийся изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Их результаты применяются во многих естественных науках: механике, физике, термоупругости, оптике.

Нелинейное дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. В самом дифференциальном уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные в нелинейном виде. Нелинейным дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др..

Различают обычные нелинейные дифференциальные уравнения и нелийни дифференциальные уравнения в частных производных.

Нелинейные дифференциальные уравнения возникли из задач нелинейной механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции от времени.

Примеры

• Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения

где m - масса тела, x - его координата, F (x , t ) - сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t . Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

• Колебания струны задается уравнением

где u = u (x , t ) - отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t , параметр a задает свойства струны.

Дифференциальное уравнение - это уравнение, в которое входят функция и одна или несколько ее производных. В большинстве практических задач функции представляют собой физические величины, производные соответствуют скоростям изменения этих величин, а уравнение определяет связь между ними.

В данной статье рассмотрены методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых могут быть записаны в виде элементарных функций , то есть полиномиальных, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических, а также обратных им функций. Многие из этих уравнений встречаются в реальной жизни, хотя большинство других дифференциальных уравнений нельзя решить данными методами, и для них ответ записывается в виде специальных функций или степенных рядов, либо находится численными методами.

Для понимания данной статьи необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением, а также иметь некоторое представление о частных производных. Рекомендуется также знать основы линейной алгебры в применении к дифференциальным уравнениям, особенно к дифференциальным уравнениям второго порядка, хотя для их решения достаточно знания дифференциального и интегрального исчисления.

Предварительные сведения

• Дифференциальные уравнения имеют обширную классификацию. В настоящей статье рассказывается об обыкновенных дифференциальных уравнениях , то есть об уравнениях, в которые входит функция одной переменной и ее производные. Обыкновенные дифференциальные уравнения намного легче понять и решить, чем дифференциальные уравнения в частных производных , в которые входят функции нескольких переменных. В данной статье не рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных, поскольку методы решения этих уравнений обычно определяются их конкретным видом.
  • Ниже приведены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений.
    • d y d x = k y {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=ky}
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+kx=0}
  • Ниже приведены несколько примеров дифференциальных уравнений в частных производных.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0}
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}
• Порядок дифференциального уравнения определяется по порядку старшей производной, входящей в данное уравнение. Первое из приведенных выше обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, в то время как второе относится к уравнениям второго порядка. Степенью дифференциального уравнения называется наивысшая степень, в которую возводится один из членов этого уравнения.
  • Например, приведенное ниже уравнение имеет третий порядок и вторую степень.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 {\displaystyle \left({\frac {{\mathrm {d} }^{3}y}{{\mathrm {d} }x^{3}}}\right)^{2}+{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0}
• Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением в том случае, если функция и все ее производные стоят в первой степени. В противном случае уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением . Линейные дифференциальные уравнения примечательны тем, что из их решений можно составить линейные комбинации, которые также будут решениями данного уравнения.
  • Ниже приведены несколько примеров линейных дифференциальных уравнений.
    • d y d x + p (x) y = q (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+p(x)y=q(x)}
    • x 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+ax{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=0}
  • Ниже приведены несколько примеров нелинейных дифференциальных уравнений. Первое уравнение является нелинейным из-за слагаемого с синусом.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}\theta }{{\mathrm {d} }t^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+\left({\frac {{\mathrm {d} }x}{{\mathrm {d} }t}}\right)^{2}+tx^{2}=0}
• Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения не является единственным, оно включает в себя произвольные постоянные интегрирования . В большинстве случаев число произвольных постоянных равно порядку уравнения. На практике значения этих констант определяются по заданным начальным условиям , то есть по значениям функции и ее производных при x = 0. {\displaystyle x=0.} Число начальных условий, которые необходимы для нахождения частного решения дифференциального уравнения, в большинстве случаев также равно порядку данного уравнения.
  • Например, в данной статье будет рассмотрено решение приведенного ниже уравнения. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные. Для нахождения этих постоянных необходимо знать начальные условия при x (0) {\displaystyle x(0)} и x ′ (0) . {\displaystyle x"(0).} Обычно начальные условия задаются в точке x = 0 , {\displaystyle x=0,} , хотя это и не обязательно. В данной статье будет рассмотрено также, как найти частные решения при заданных начальных условиях.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+k^{2}x=0}
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x {\displaystyle x(t)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx}

Шаги

Часть 1

При использовании этого сервиса некоторая информация может быть передана YouTube.

Эту страницу просматривали 69 354 раз.

Была ли эта статья полезной?

Содержание статьи

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. (Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость – производная от расстояния; аналогично, ускорение – производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем.) Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Примеры.

Следующие примеры позволяют лучше понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.

1) Закон распада некоторых радиоактивных веществ состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x – количество вещества в некоторый момент времени t , то этот закон можно записать так:

где dx /dt – скорость распада, а k – некоторая положительная постоянная, характеризующая данное вещество. (Знак «минус» в правой части указывает на то, что x убывает со временем; знак «плюс», подразумеваемый всегда, когда знак явно не указан, означал бы, что x возрастает со временем.)

2) Емкость первоначально содержит 10 кг соли, растворенной в 100 м 3 воды. Если чистая вода вливается в емкость со скоростью 1 м 3 в минуту и равномерно перемешивается с раствором, а образовавшийся раствор вытекает из емкости с такой же скоростью, то сколько соли окажется в емкости в любой последующий момент времени? Если x – количество соли (в кг) в емкости в момент времени t , то в любой момент времени t в 1 м 3 раствора в емкости содержится x /100 кг соли; поэтому количество соли убывает со скоростью x /100 кг/мин, или

3) Пусть на тело массы m , подвешенное к концу пружины, действует возвращающая сила, пропорциональная величине растяжения пружины. Пусть x – величина отклонения тела от положения равновесия. Тогда по второму закону Ньютона, который утверждает, что ускорение (вторая производная от x по времени, обозначаемая d 2 x /dt 2) пропорционально силе:

Правая часть стоит со знаком минус потому, что возвращающая сила уменьшает растяжение пружины.

4) Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры 90° С находится в помещении, температура в котором равна 20° С, то

где T – температура кофе в момент времени t .

5) Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии. Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y – расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску. Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску, и наоборот, получаем:

где члены -ax и -by описывают военные расходы каждой из стран, k и l – положительные постоянные. (Эту задачу впервые таким образом сформулировал в 1939 Л.Ричардсон.)

После того, как задача записана на языке дифференциальных уравнений, следует попытаться их решить, т.е. найти величины, скорости изменения которых входят в уравнения. Иногда решения находятся в виде явных формул, но чаще их удается представить лишь в приближенном виде или же получить о них качественную информацию. Часто бывает трудно установить, существует ли решение вообще, не говоря уже о том, чтобы найти его. Важный раздел теории дифференциальных уравнений составляют так называемые «теоремы существования», в которых доказывается наличие решения у того или иного типа дифференциальных уравнений.

Первоначальная математическая формулировка физической задачи обычно содержит упрощающие предположения; критерием их разумности может служить степень согласованности математического решения с имеющимися наблюдениями.

Решения дифференциальных уравнений.

Дифференциальному уравнению, например dy /dx = x /y , удовлетворяет не число, а функция, в данном конкретном случае такая, что ее график в любой точке, например в точке с координатами (2,3), имеет касательную с угловым коэффициентом, равным отношению координат (в нашем примере 2/3). В этом нетрудно убедиться, если построить большое число точек и от каждой отложить короткий отрезок с соответствующим наклоном. Решением будет функция, график которой касается каждой своей точкой соответствующего отрезка. Если точек и отрезков достаточно много, то мы можем приближенно наметить ход кривых-решений (три такие кривые показаны на рис. 1). Существует ровно одна кривая-решение, проходящая через каждую точку с y № 0. Каждое отдельное решение называется частным решением дифференциального уравнения; если удается найти формулу, содержащую все частные решения (за исключением, быть может, нескольких особых), то говорят, что получено общее решение. Частное решение представляет собой одну функцию, в то время как общее – целое их семейство. Решить дифференциальное уравнение – это значит найти либо его частное, либо общее решение. В рассматриваемом нами примере общее решение имеет вид y 2 – x 2 = c , где c – любое число; частное решение, проходящее через точку (1,1), имеет вид y = x и получается при c = 0; частное решение, проходящее через точку (2,1), имеет вид y 2 – x 2 = 3. Условие, требующее, чтобы кривая-решение проходила, например, через точку (2,1), называется начальным условием (так как задает начальную точку на кривой-решении).

Можно показать, что в примере (1) общее решение имеет вид x = ce –kt , где c – постоянная, которую можно определить, например, указав количество вещества при t = 0. Уравнение из примера (2) – частный случай уравнения из примера (1), соответствующий k = 1/100. Начальное условие x = 10 при t = 0 дает частное решение x = 10e –t /100 . Уравнение из примера (4) имеет общее решение T = 70 + ce –kt и частное решение 70 + 130 –kt ; чтобы определить значение k , необходимы дополнительные данные.

Дифференциальное уравнение dy /dx = x /y называется уравнением первого порядка, так как содержит первую производную (порядком дифференциального уравнения принято считать порядок входящей в него самой старшей производной). У большинства (хотя и не у всех) возникающих на практике дифференциальных уравнений первого рода через каждую точку проходит только одна кривая-решение.

Существует несколько важных типов дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решения в виде формул, содержащих только элементарные функции – степени, экспоненты, логарифмы, синусы и косинусы и т.д. К числу таких уравнений относятся следующие.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения вида dy /dx = f (x )/g (y ) можно решить, записав его в дифференциалах g (y )dy = f (x )dx и проинтегрировав обе части. В худшем случае решение представимо в виде интегралов от известных функций. Например, в случае уравнения dy /dx = x /y имеем f (x ) = x , g (y ) = y . Записав его в виде ydy = xdx и проинтегрировав, получим y 2 = x 2 + c . К уравнениям с разделяющимися переменными относятся уравнения из примеров (1), (2), (4) (их можно решить описанным выше способом).

Уравнения в полных дифференциалах.

Если дифференциальное уравнение имеет вид dy /dx = M (x ,y )/N (x ,y ), где M и N – две заданные функции, то его можно представить как M (x ,y )dx – N (x ,y )dy = 0. Если левая часть является дифференциалом некоторой функции F (x ,y ), то дифференциальное уравнение можно записать в виде dF (x ,y ) = 0, что эквивалентно уравнению F (x ,y ) = const. Таким образом, кривые-решения уравнения – это «линии постоянных уровней» функции, или геометрические места точек, удовлетворяющих уравнениям F (x ,y ) = c . Уравнение ydy = xdx (рис. 1) – с разделяющимися переменными, и оно же – в полных дифференциалах: чтобы убедиться в последнем, запишем его в виде ydy – xdx = 0, т.е. d (y 2 – x 2) = 0. Функция F (x ,y ) в этом случае равна (1/2)(y 2 – x 2); некоторые из ее линий постоянного уровня представлены на рис. 1.

Линейные уравнения.

Линейные уравнения – это уравнения «первой степени» – неизвестная функция и ее производные входят в такие уравнения только в первой степени. Таким образом, линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид dy /dx + p (x ) = q (x ), где p (x ) и q (x ) – функции, зависящие только от x . Его решение всегда можно записать с помощью интегралов от известных функций. Многие другие типы дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью специальных приемов.

Уравнения старших порядков.

Многие дифференциальные уравнения, с которыми сталкиваются физики, это уравнения второго порядка (т.е. уравнения, содержащие вторые производные) Таково, например, уравнение простого гармонического движения из примера (3), md 2 x /dt 2 = –kx . Вообще говоря, можно ожидать, что уравнение второго порядка имеет частные решения, удовлетворяющие двум условиям; например, можно потребовать, чтобы кривая-решение проходила через данную точку в данном направлении. В случаях, когда дифференциальное уравнение содержит некоторый параметр (число, величина которого зависит от обстоятельств), решения требуемого типа существуют только при определенных значениях этого параметра. Например, рассмотрим уравнение md 2 x /dt 2 = –kx и потребуем, чтобы y (0) = y (1) = 0. Функция y є 0 заведомо является решением, но если – целое кратное числа p , т.е. k = m 2 n 2 p 2, где n – целое число, а в действительности только в этом случае, существуют другие решения, а именно: y = sin npx . Значения параметра, при которых уравнение имеет особые решения, называются характеристическими или собственными значениями; они играют важную роль во многих задачах.

Уравнение простого гармонического движения служит примером важного класса уравнений, а именно: линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Более общий пример (также второго порядка) – уравнение

где a и b – заданные постоянные, f (x ) – заданная функция. Такие уравнения можно решать различными способами, например, с помощью интегрального преобразования Лапласа. То же можно сказать и о линейных уравнениях более высоких порядков с постоянными коэффициентами. Не малую роль играют также и линейные уравнения с переменными коэффициентами.

Нелинейные дифференциальные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, называются нелинейными. В последние годы они привлекают все большее внимание. Дело в том, что физические уравнения обычно линейны лишь в первом приближении; дальнейшее и более точное исследование, как правило, требует использования нелинейных уравнений. Кроме того, многие задачи нелинейны по своей сути. Так как решения нелинейных уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

Приближенные решения дифференциальных уравнений могут быть найдены в численном виде, но для этого требуется много времени. С появлением быстродействующих компьютеров это время сильно сократилось, что открыло новые возможности численного решения многих, ранее не поддававшихся такому решению, задач.

Теоремы существования.

Теоремой существования называется теорема, утверждающая, что при определенных условиях данное дифференциальное уравнение имеет решение. Встречаются дифференциальные уравнения, не имеющие решений или имеющие их больше, чем ожидается. Назначение теоремы существования – убедить нас в том, что у данного уравнения действительно есть решение, а чаще всего заверить, что оно имеет ровно одно решение требуемого типа. Например, уже встречавшееся нам уравнение dy /dx = –2y имеет ровно одно решение, проходящее через каждую точку плоскости (x ,y ), а так как одно такое решение мы уже нашли, то тем самым полностью решили это уравнение. С другой стороны, уравнение (dy /dx ) 2 = 1 – y 2 имеет много решений. Среди них прямые y = 1, y = –1 и кривые y = sin(x + c ). Решение может состоять из нескольких отрезков этих прямых и кривых, переходящих друг в друга в точках касания (рис. 2).

Дифференциальные уравнения в частных производных.

Обыкновенное дифференциальное уравнение – это некоторое утверждение о производной неизвестной функции одной переменной. Дифференциальное уравнение в частных производных содержит функцию двух или более переменных и производные от этой функции по крайней мере по двум различных переменным.

В физике примерами таких уравнений являются уравнение Лапласа

X , y ) внутри круга, если значения u заданы в каждой точке ограничивающей окружности. Поскольку проблемы с более чем одной переменной в физике являются скорее правилом, чем исключением, легко представить, сколь обширен предмет теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Книга является введением в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных уравнений и посвящена анализу нелинейных математических моделей и динамических систем на предмет их точного решения (интегрируемости).
Предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников, интересующихся нелинейными математическими моделями, теорией солитонов, методами построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, теорией уравнений Пенлеве и их высших аналогов.

Уравнение Кортевега - де Вриза для описания волн на воде.
Явление распространения волн на поверхности воды издавна привлекало к себе внимание исследователей. Это пример волн, который каждый мог наблюдать еще в детстве и который обычно демонстрируется в рамках школьного курса физики. Однако, это довольно сложный тип волн. По выражению Ричарда Фейнмана «более неудачного примера для демонстрации волн придумать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все трудности, которые могут быть в волнах» .

Если рассмотреть бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмущения будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести. Развитие этого явления с течением времени и приведет к распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизительно по окружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы являются смесью тех и других. С глубиной, радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьшаются до тех пор, пока они не станут равными нулю .

Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывается, что она зависит от ее амплитуды. Скорость длинных волн пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного падения умноженному на сумму амплитуды волны и глубины бассейна. Причиной возникновения таких волн является сила тяжести.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 9
Глава 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 13
1.1 Уравнение Кортевега - де Вриза для описания волн на воде 13
1.2 Простейшие решения уравнения Кортевега - де Вриза 23
1.3 Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс 26
1.4 Простейшие решения модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза 32
1.5 Фазовая и групповая скорости волн 35
1.6 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей волнового пакета 39
1.7 Уединенные волны, описываемые нелинейным уравнением Шредингера и групповой солитон 42
1.8 Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в твердом теле 44
1.9 Простейшие решения уравнения sin-Гордона и топологический солитон 48
1.10 Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса 51
1.11 Модель Хенона - Хейлеса 57
1.12 Система Лоренца 60
1.13 Задачи и упражнения к главе 1 68
Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 71
2.1 Классификация особых точек функций комплексной переменной 71
2.2 Неподвижные и подвижные особые точки 74
2.3 Уравнения, не имеющие решений с критическими подвижными особыми точками 76
2.4 Задача Ковалевской о волчке 82
2.5 Определение свойства Пенлеве и уравнения Пенлеве 85
2.6 Второе уравнение Пенлеве для описания электрического поля в полупроводниковом диоде 87
2.7 Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных уравнений 91
2.8 Локальные представления решений уравнений типа Пенлеве 96
2.9 Метод Пенлеве для анализа дифференциальных уравнений 100
2.10 Трансцендентная зависимость решений первого уравнения Пенлеве 106
2.11 Неприводимость уравнений Пенлеве 111
2.12 Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения Пенлеве 113
2.13 Рациональные и специальные решения второго уравнения Пенлеве 114
2.14 Дискретные уравнения Пенлеве 116
2.15 Асимптотические решения первого и второго уравнений Пенлеве 118
2.16 Линейные представления уравнений Пенлеве 120
2.17 Алгоритм Конта - Форди - Пикеринга для проверки уравнений на свойство Пенлеве 122
2.18 Примеры анализа уравнений методом возмущений Пенлеве 125
2.19 Тест Пенлеве для системы уравнений Хенона-Хейлеса 128
2.20 Точно решаемые случаи системы Лоренца 131
2.21 Задачи и упражнения к главе 2 135
Глава 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 138
3.1 Интегрируемые системы 138
3.2 Преобразование Коула - Хопфа для уравнения Бюргерса 141
3.3 Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Корте-вега - де Вриза 144
3.4 Законы сохранения для уравнения Кортевега - де Вриза 146
3.5 Отображения и преобразования Бэклунда 149
3.6 Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона 151
3.7 Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега - де Вриза 153
3.8 Семейство уравнений Кортевега - де Вриза 155
3.9 Семейство уравнений АКНС 157
3.10 Тест Абловица - Рамани - Сигура для нелинейных уравнений в частных производных 160
3.11 Метод Вайса - Табора - Карневейля для анализа нелинейных уравнений 163
3.12 Пенлеве-анализ уравнения Бюргерса методом ВТК 165
3.13 Анализ уравнения Кортевега - де Вриза 168
3.14 Построение пары Лакса для уравнения Кортевега - де Вриза методом ВТК 169
3.15 Анализ модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза 171
3.16 Усеченные разложения, как отображения решений нелинейных уравнений 172
3.17 Инвариантный пенлеве-анализ 174
3.18 Применение инвариантного пенлеве-анализа для нахождения пар Лакса 176
3.19 Соотношения между основными точно решаемыми нелинейными уравнениями 179
3.20 Семейство уравнений Бюргерса 187
3.21 Задачи и упражнения к главе 3 189
Глава 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 193
4.1 Применение усеченных разложений для построения частных решений неинтегрируемых уравнений 193
4.2 Точные решения уравнения Бюргерса - Хаксли 197
4.3 Частные решения уравнения Бюргерса - Кортевега - де Вриза 205
4.4 Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото - Сивашинского 208
4.5 Кноидальные волны, описываемые уравнением Курамото - Сивашинского 215
4.6 Частные решения простейшего нелинейного волнового уравнения пятого порядка 217
4.7 Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде 220
4.8 Решения уравнения Кортевега - де Вриза пятого порядка в переменных бегущей волны 230
4.9 Точные решения модели Хенона - Хейлеса 235
4.10 Метод нахождения рациональных решений некоторых точно решаемых нелинейных уравнений 237
4.11 Задачи и упражнения к главе 4 241
Глава 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ И ИХ СВОЙСТВА 244
5.1 Анализ уравнений четвертого порядка на свойство Пенлеве 244
5.2 Уравнения четвертого порядка, прошедшие тест Пенлеве 251
5.3 Трансценденты, определяемые нелинейными уравнениями четвертого порядка 253
5.4 Локальные представления решений для уравнений четвертого порядка 258
5.5 Асимптотические свойства трансцендент уравнений четвертого порядка 264
5.6 Семейства уравнений с решениями в виде трансцендент 266
5.7 Пары Лакса для уравнений четвертого порядка 271
5.8 Обобщения уравнений Пенлеве 277
5.9 Преобразования Бэклунда для высших аналогов уравнений Пенлеве 284
5.10 Рациональные и специальные решения высших аналогов уравнений Пенлеве 291
5.11 Дискретные уравнения, соответствующие высшим аналогам уравнений Пенлеве 295
5.12 Задачи и упражнения к главе 5 304
ГЛАВА 6. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА - ДЕ ВРИЗА 306
6.1 Задача Коши для уравнения Кортевега - де Вриза 306
6.2 Прямая задача рассеяния 307
6.3 Интегральный вид стационарного уравнения Шредингера 313
6.4 Аналитические свойства амплитуды рассеяния 315
6.5 Уравнение Гельфанда - Левитана - Марченко 318
6.6 Интегрирование методом обратной задачи рассеяния уравнения Кортевега - де Вриза 321
6.7 Решение уравнения Кортевега - де Вриза в случае безотражательных потенциалов 323
6.8 Оператор Хироты и его свойства 326
6.9 Нахождение солитонных решений уравнения Кортевега - де Вриза методом Хироты 327
6.10 Метод Хироты для модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза 331
6.11 Задачи и упражнения к главе 6 333
Литература 337
Предметный указатель.

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию , обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":